FOC(Field-Oriented Control) 에 대한 상세한 설명

FOC(Field Oriented Control) 또는 벡터 제어는 교류 전동기(특히, 유도 전동기와 영구 자석 동기 전동기)의 전류 벡터를 제어하여 직류 전동기와 유사한 성능을 제공하기 위한 제어 기법입니다. FOC의 핵심은 전류의 직교 성분(토크 성분 및 자기 자화 성분)을 독립적으로 제어하는 것입니다. 이를 수식적으로 설명하면 다음과 같습니다.

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1. 전류 벡터의 변환 (ABC → d-q 축 변환)

FOC는 3상 교류 전류 $i_a$, $i_b$, $i_c$를 고정된 좌표계에서 회전하는 $d$–$q$ 좌표계로 변환합니다. 이 변환은 Clarke 변환과 Park 변환을 사용하여 수행됩니다.

Clarke 변환 (3상 → 2상, 고정 좌표계):

$$i_\alpha = i_a$$ $$i_\beta = \frac{1}{\sqrt{3}}(i_a + 2i_b)$$

Park 변환 (고정 좌표계 → 회전 좌표계):

$$i_d = i_\alpha \cos(\theta_e) + i_\beta \sin(\theta_e)$$ $$i_q = -i_\alpha \sin(\theta_e) + i_\beta \cos(\theta_e)$$

여기서:

• $i_d$: 자기 자화 성분(Flux Component)
• $i_q$: 토크 성분(Torque Component)
• $\theta_e$: 전기적 회전 각도

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2. 전압 방정식 (회전 좌표계 d-q 축):

FOC에서 전압 방정식은 $d$–$q$ 축 기준으로 나타냅니다. 이는 전류 제어를 위해 사용됩니다.

$$v_d = R_s i_d + L_d \frac{di_d}{dt} – \omega_e L_q i_q$$ $$v_q = R_s i_q + L_q \frac{di_q}{dt} + \omega_e L_d i_d + \omega_e \lambda_m$$

여기서:

• $v_d$, $v_q$: $d$, $q$ 축 전압
• $R_s$: 고정자 저항
• $L_d$, $L_q$: $d$, $q$ 축 인덕턴스
• $\omega_e$: 전기적 회전 속도
• $\lambda_m$: 영구 자석 자속

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3. 토크 방정식:

FOC의 목표 중 하나는 전동기의 토크를 제어하는 것입니다. 동기 전동기의 전기적 토크는 다음과 같이 나타납니다.

$$T_e = \frac{3}{2} P \left( \lambda_m i_q + (L_d – L_q) i_d i_q \right)$$

여기서:

• $P$: 전동기의 극쌍 수
• $T_e$: 전기적 토크

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4. 역변환 (d-q 축 → ABC 변환):

전압 제어 신호 $v_d$, $v_q$를 다시 고정된 좌표계의 3상 신호 $v_a$, $v_b$, $v_c$로 변환합니다.

역 Park 변환 (회전 → 고정 좌표계):

$$v_\alpha = v_d \cos(\theta_e) – v_q \sin(\theta_e)$$ $$v_\beta = v_d \sin(\theta_e) + v_q \cos(\theta_e)$$

역 Clarke 변환 (2상 → 3상):

$$v_a = v_\alpha$$ $$v_b = -\frac{1}{2} v_\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} v_\beta$$ $$v_c = -\frac{1}{2} v_\alpha – \frac{\sqrt{3}}{2} v_\beta$$

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5. FOC의 제어 구조

FOC는 일반적으로 다음 단계로 구성됩니다.

1. 전류 센싱: $i_a$, $i_b$, $i_c$ 측정.
2. 변환: Clarke 및 Park 변환으로 $i_d$, $i_q$ 계산.
3. PI 제어기: $i_d$, $i_q$를 제어하여 원하는 플럭스와 토크를 유지.
4. PWM 생성: 제어된 $v_d$, $v_q$를 3상 PWM 신호로 변환.

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요약

FOC는 전류 벡터를 $d-q$ 축으로 변환하여 직류 전동기와 유사하게 제어하며, 고성능과 효율성을 제공합니다. 위의 수식을 통해 플럭스와 토크를 독립적으로 제어하는 것이 FOC의 본질입니다.